〔提要〕代数学是研究具有代数运算的系统的结构和性质的数学分支。它在本世纪取得飞跃的发展，它的思想和方法已渗透到了数学的许多分支，对数学的发展有着重大的意义。有人称它为二十世纪数学的皇冠，它是我国数学发展的重点学科。

美国数学会前副主席、哈佛大学纯粹数学和应用数学教授G. Birkhoff是国际上著名的数学家，著有代数学主要专著六、七种，影响广泛。本文较详细地评述了近世代数直到本世纪70年代的发展，注意论述了代数学和公理化、符号逻辑之间的联系，代数结构思想对数学发展的影响，特别阐明了高速计算机对代数学发展的推动作用。

近世代数的兴起：恰好在Gddel破灭了所有数学用Peano语言表达成形式化的符号逻辑的很高的期待前夕，Van der Wearden的《近世代数》（1930—1931）发起了一场新的革命。这本光辉著作的目标，在它的前言中被清楚地阐明。

“这‘抽象的形式的’或‘公理化的’方向，在代数学领域中造成了新的成长。特别在群论、域论、赋值论和超复系理论等部门中引起了一系列新概念的形成，建立了许多新的联系，并导致一系列深远的结果，本书的主要目的就是要将读者引入整个这一概念世界”。

正如我已经指出过的，公理化倾向和大部分“近世”代数的内容都可追溯到1914年以前。然而甚至在1929年，它的概念和方法，在大部分大学里，其中包括哈佛大学，与数学分析相比较只稍微有点兴趣。由于展示他们的数学的和哲学的统一性，由于E. Noether和她的另一些学生（最著名的有E. Artin，R. Brauer和H. Hasse）的发展所显示的力量，Van der Wearden所作的《近世代数》似乎成了数学的中心，不妨可以说，他的叙述的新鲜和热切，惊动了整个数学世界——特别是像我那样30岁左右的数学家。

特别是，它指出了古典的实的和复的代数似乎过时了，至少在真实的意义下，它是分析的一部分，而不是代数。这种观点，在《近世代数》中受到例证。书中直到Galois理论提出后，任意域（Steinitz，1910）的最小代数闭扩域的存在性和唯—性，被纯粹代数地证明后（通过超限归纳），实数和复数域甚至还没有定义，这可以和Weber，Serret和Perron的教程作对照。

格论：这个新的态势对格论的诞生是一重要刺激，格论自Dedeking的开拓性文章以来一直没有变化。我说过，1933年，格论提供了“一个向抽象代数学中组合问题挺进的有利条件”。1938年把格论应用到逻辑、代数、几何、概率论、测度与积分理论以及泛函分析中取得了重大的进展。由于这一原因，美国数学会为此举行了讨论会，以后它成了十分新鲜的论题。

学院代数：古典代数由当时的近世代数所取代，这种情况使得还不到第二次世界大战，近世代数就成为我国学院的学生的水平——一个学生应部分地具备Mac Lane和我在1941年所写的《近世代数概观》中程度。事实上，我们的倾向似乎一直被保持到今天。这本书与Van der Waerden的不一样。我们提供了群和实的、复的矩阵的定义（包括对称矩阵和Hemitian矩阵的主轴定理），和Galois理论以前的几何应用、方程论的—些性质。我们也包含了Boole代数，考虑到它对学生理解集合论和逻辑是本质的；以后我们将回到这里。

布尔巴基的影响：像Bourbaki在他的《数学原本》中所重新陈述的抽象数学，不久以前在法国大学中仍在学习，这多卷的著作，大部分写于1945—1955这十年中，它试图从集合、函数出发，系统地展开所有的（纯粹）数学。它提出的数学内容，是抽象地处理在集合之上的想象的关系结构和这些结构之间的映照（本质上是同态的）。

在卷2中，按此精神叙述了代数结构，它被定义为带有（内部或外部的）有限运算的元素的集合。以后通过精确的推敲和系统的罗列，读者被毫不踌躇地确实地引向关于群、环、域和我们所关心的大部分的各类系统的定义、 · 例子和定理。周密的努力使数学呈现为一块被仔细推敲的，从集合和函数概念用纯粹的推理建立起来的独石。

抽象代数的潮流：由我已描写过的那种方式增强了的Van der Waerden的书所激起的热情，掀起了四十年来抽象代数各个方面无先例的潮流。特别是群、环、域（被献给近世代数范围的）达到了深刻的新水平。或许最引人注目的事例是每个偶数阶的有限群都是可解的。由Thompson和Feit用200页纸很机灵的推导中所证明的这一结果，经历了一段非常时期，似乎对1930年代的大多数数学家没有什么帮助。

近40年来，也看到了Lie，Jordan理论和多重线性代数已经成熟了，在1930年，对它们所知，即使不是天真的也是浅薄的。对于格论、半群和拟群理论、范畴论和同调代数、组合代数同样也是如此，对所有这一切在30年代都是不知道的或者稍微知道—点。最后作为公理代数的一个新分支，基于交换环和它的理想、赋值的确实深刻的结果，代数几何变得严格化了。

广泛的反响：由抽象代数的热情所激起的浪潮引起了广泛的反响。这样，对1930年像我这样的年轻人来说，Van der Waerden的书，使得源出于微积分（无限小分析）的已经统治数学200年的经典分析变得古老和使人厌倦了。确实地，Van der Waerden在代数学中所采用的抽象趋向，在泛函分析和拓扑学中变得流行了，一切数学都可以被看作为拓扑代数的思想，从解决Hilbert第五问题中，获得了强有力的推动。Hilbert第五问题是说：在Lie群理论中，可微性的假设可以用连续性代替；任意局部地Euclid的连续群同构于一个解析李群，以至对传统的强有力的数学——偏微分方程，围绕寻找几个新的抽象概念愈益成为中心问题，这些概念使得可能去极为一般地证明存在性、唯一性定理。

由于如此地变更着重点，60年代的绝大多数年轻的数学家深，深相信，一切数学都将由集合和函数的概念、公理化的建立起来。这种趋向对于近代的而不是：古典的数学似乎不久就如此做了。1959年Van der Waerden改称《近世代数》书名为《代数学》，同时1960年Mac Lane和我写了另一本《代数学》，在抽象的方向上想进一步环绕着模射、范畴和“普遍”等中心概念编集了大量的“纯粹”代数。对代数的“普遍”趋向，我已在30年代，40年代强调格论的地位时讲过，在Cohen和Gr?tzen的两本重要书籍中有进一步的展开。在一个独立的展开中Lawvere（1965）建议“用范畴论的范畴作为数学的基础”。

1960年的“新数学”：在60年代早期和中期以人造卫星为标志的时期，这种热情进一步发展了。特别是在美国，教师常常是一知半解地对中学生讲解熟知的集、函数和公理的概念！它的一批开创者鼓励传播一些神话，这些构成了在50年我前所不知的“新数学”。这些流行的一个表面的目标是教训青年人，使得他们能够充分地填补数学教学和研究工作者的不足。当时，我国战后的“儿童膨胀”和繁荣，在对学院提出了需四倍的数学教师的要求的情况下，这似乎是极为引人向往的。对基础科学的毫不怀疑的信用，越来越支持，每年10 ~ 15%的在纯粹数学方面的研究。但是到1972年，它似乎变得过时了。

综上：1930 ~ 60期间，代数谐和地发展着，在我已经描述过的途径中，它的主要潮流流畅地、飞快地、最终是巨大地发展着。这些成绩的估价可以在这样的事实中找到：在1936年和1950年前，四个Field奖中的三个被授予分析，而在1970年，四个中的三个被授予代数。

但是，近5 ~ 10年来，一个强有力的新的潮流出现了，有些人兴起了对极端主义相反的潮流，Rene Thom新近写了一篇思想证明的文章，叫做“近世”数学：一个教育的和哲学的错误，其中他极力主张用几何去代替代数，因为“在代数中的任何问题、不是平凡的就是不可解的。相反几何中的经典问题已提出广泛的多种多样的挑战”。

但是，我不希望以思古的回忆来详述这夸大了的十年，研究范围的极度抽象，试图过早地牵强附会地教育儿童，以及毫不批判地讲解基础自然科学已经证实了有反作用，现在的危险是在相反的方向已走得太远了。

我希望用我的观点来专门描述代数中的四个实在的潮流。

新数值代数：1940年，曾经发生过一场新的革命，它对数学的最终意义是不能估量的，也就是说有效的高速数字计算机的建立愈来愈使得它能解决数学问题，这些问题的有效的解以前需要花费非常高的代价和时间，对许多数学家来说，包括我自己在内，1950年以前，这成为明显的了，在应用数学中形成的革命将打开基础研究的一个新的范围。特别地，由于数字计算机只能用有限位数字表示实数，只能用有限的节点（逼近网格点上的节点）来表示实函数的值。它们应用到微分方程的解时（即从物理和工程中提出的），要求对舍入误差和截断误差作十分清楚的数值分析。

因此，对于实际上解一个微分方程组（指任意近似），人们通常首先用一个近似的代数方程组（或用有限差分法，或用有限元方法）来逼近它。代数方程组中的未知数，典型的代表网格上的节点值，然后用电子计算机来解（也是逼近）。对于描述性的第一步。我这里不准备说什么。因为数值分析的定理和逼近理论恰好属于古典分析而不属于代数。可以很有把握地说，它常常会导出很大的矩阵和齐次联立线性方程组，可以包括50000个或甚至更多的未知数。主要问题是要有效地解出它们。

这些矩阵，有许多典型的专门性质，这可以被用来加快效率；它们常常是很稀疏的（有许多零矩阵元），常常是对称的，或者通过排列、线性变换可以对称化的。它们的对角线元素是占“支配”的，（即至少可大于其它矩阵元的绝对值的和），它们可以有正的对角元和负的副对角元，具有上面这些性质的矩阵，本质的是叫做Stieltjes矩阵。它们是在网络流问题中自然地提出的。

人们常常想：或者（ⅰ）解线性方程组（用符号写成Ax=b），或者（ⅱ）决定A的特征值（前者当然是|A-λI|=0的根）。至于说到（ⅰ）大多数数学家在1940年都设想，大型线性组通过Gauss消元法，将是可解的（最终！）。余下的纯粹是很繁琐的工作。几位著名的分析学家（包括Gauss，Jacobi和Von Mises），对初始值方法（也是由Gauss使用的）做出适当的评价，并且研究了它们的收敛速度。但是这些方法在“线性代数”的教本中是（至今仍然是）全然不问的，类似地观念也出现在特征问题中，这里大部分数学家的经验被局限于3×3（如果不是2×2的话）矩阵A=‖a_ij‖，它的特征值，可以采用书上解三次特征方程

λ³-(α₁₁+α₂₂+α₃₃)λ²+βλ-A=0

而得到，这里

β=α₂₂α₃₃+α₃₃α₁₁+α₁₁α₂₂-α₂₃α₃₂-α₃₁α₁₃-α₁₂α₂₁

实际上，这种教本中的方法，对于解大部分大型矩阵是很不精确的和很无能的。在50年代，它们被新的算法替代，新的算法的发明和分析，创造了“古典的”代数的极大的新领域：新的数值代数。关于这个已知的领域，优秀的概述包括在Varge，Wilkinson和Young的权威著作中，每个有远见的青年代数学家，至少要知晓它们的内容。

稀疏矩阵：最近五年来，在用消元法解带有稀疏系数矩阵的大型系组方面，也看到了一些实质的改善（比Gauss），对于这种思想，特别是在图论中已经做出了成果。

在（实的和复的）数值代数中，另外还有许多有趣的新的研究领域，我将注意三个最重要的方面；它们的一些动态在许多评述性的杂志中可以找到：

（a）求直到100阶的多项式方程的根。

（b）多变量函数的“非约束”的极小化。

（c）求用方程和不等式“约束的”目标函数的极小值的线性规划以及其它技巧。

实际上，这些“新”的领域也发源于1940年代，如果不是更早的话。1947年线性规划被定义了，解这些问题的“单纯型方法”被George Dantzig发明了。进而，十年后由Kemeny，Snell和Thompson的工作，在他们的《有限方法引论》的文章中，使得基本技巧能为学院中新生的水平所接受。

整算术：在计算机的程序语言中；作出了在精确的“整算术”和渐近的“实算术”之间的基本区别。在上面讨论中，我已经删去了“整规划”问题和用计算机解Diophantine方程的问题，因为它们涉及整的而不涉及实的和复的数值代数。但是在这些领域中的活动，代表了当今数值代数中另一强有力的方向。

自动机理论：尽管许多数学家把高速电子计算机看作是简单的“数字咬嚼”或多次的反复，由于它在数学中的最初的作用是执行精巧的数字计算。尽管可以最高限度地把“算法单元”组织到计算机“硬件”的专门部件中，计算机实际上还是极为适用于多方面的。大型通用计算机被设计成为一种普遍的工具，它能增强各种“智力”活动的能力。很像工业革命竭尽全力使用机器那样，因为这种机器能够比人类更为廉价而有效地实现各种体力活动，计算机革命的目标是对智力活动作同样的工作。这种见解使计算机的研究特别迷人。从数学的观点来看，因为通用计算机是一个有限部件的数字装置，它的研究基于一个新的、纯粹的代数概念。现在我将公理化地来定义：

定义：一个有限状态机M（或“自动机”），是由一组“输入符号”A，一组“状态”S和一组“输出符号”Z所组成，它们由两种运算v：A×S→S和ζ：A×S→Z联结起来。运算v是对每个“输入符号”α∈A和“初始状态”s∈S指定一“新状态”v（a，s）∈S；运算ζ是对α和s指定一个“终端状态”ζ（α，s）∈Z。更具体地，这样一个有限状态机M可以看作为从一个专门的初始状态s_０，通过递归地使用S_k＝v（s_k-1, α_k）而展开，结果打出Z_k＝ζ（s_k-1, α_k）对于k=1，2，…n。按这种方式，它改动输入符号链或程序α₁，α₂，…，a_n为终端z₁，z₂，…，z_n。

抽象地说，一个有限状态机，清楚地它恰恰是一类新的代数系统M=[A、S、Z；v，ζ]。如果人们不顾Z和ζ而简化M（这在范畴中称为“遗忘函子”），简化后的M恰好可描述为一个自由半群（所有可能的输入“程序”集A*）作用在一个集合（状态集S）上，那个无需输出的状态机理论，很好地与公理的（“近世的”）代数相对应，正如最近所表明：所谓的“遍代数”能够适用那里。

图灵机：它非常像有限状态机，而稍微简单一些，是由逻辑学家Turing在1936年发明，它在高速通用电子计算机之前已经有了。Turing证明了它们确实能够实现大部分的数学“思想”过程。因此他们能够打印出任何确定的实数，如e，π或Bessel函数J_n(x)第k次零点的二进制或十进制的表达式，并且他们能“推导出限于Hilbert函数演算的一切可证公式”，给出所有的真定理而不是假的。

二十多年后Turing指出，这种机器，原则上能够进行各类数学定理的证明。这是由Leibniz，Whitehead和Russell所向往的，王浩实际人已经做了，即他写了一个专门的程序，在很短的时间内，推导出了关于谓词演算中的所有350个定理。正如，Whitehead和Russell在《数学原理》中实际上叙述过的。

计算的复杂性，最优化：在代数中，一般地说在数学中，确实第三个也是十分强有力的方向是关于计算的复杂性或最优化的。当然，在代数的一切应用中，符号学作的有效性是一个最基本的考虑，但是多年来，它是被禁也在纯粹数学的研究杂志上讨论的。

这个反对讨论有效性的势利的禁忌掩盖了某些十分重要的基本事实。由于在数理逻辑领域中，与Whitehead和Russell的广博的书以及Hilbert学派那不太当真的试图改善形式推导图式的有效性不一样，Leibniz和Peano都实际上企图（特别是Leibniz！已经做了）去发展一种更有效地从而也是更有力地进行数学推理的符号技巧。如果人们比较Whitehead和Russell导出集合和函数基本形式的性质所需要的符号数目和数学家进行相当的工作所需的词的数目，那么其中的差别就逐渐变得明显了。至今，在逻辑自身的命。题演算中，通过使用强有力的计算机，仅仅实现了关于实质上是标度的机器定理证明（王浩）。

最后，终于对有效性的重要性有了认识，数理逻辑学家已经开始应用一般原理到特殊情况中去分析“计算复杂性”了。他们的分析，在数和矩阵乘法的简化程序的展开中，已经取得了丰富的成果。

关于在代数中的研究计算复杂性的最终目标，当然是符号方法的最优化。实际上最优化问题曾被看作为是一些基本的问题，它的求解将继续是一种挑战，将激励着新的一代纯粹数学家。其中的两个问题，相应的是（ⅰ）Boole代数的“最简形式”，和（ⅱ）信息论中的“最有效编码”问题。

其它的有魅力的最优化问题，最近被提出并使人惊异的是（ⅲ）两个n位整数相乘要求最少运算次数是多少？（ⅳ）两个n×n矩阵相乘所要求的最小算术运算次数是多少？（ⅴ）人们怎样才能用最少次数的加、减、乘、除去解n个未知量的n阶齐次线性方程组？我感到，我没有时间在此讨论这些问题。

组合代数：在代数中第四种潮流指向强调组合，特别是那些涉及图和网络的5确实这个趋向，由于对一事实的直觉的认识，即数学的数字计算和推演程序具有一种要求助于组合方法来分析的结构。正如H. Weyl在1949年所写：“联系大脑和感官的神经网络是一个很自然地会招致组合学研究的课题，现代计算机把我们的目光引到用机器和电子设备进行操作的数学的组合结构”。

从幼嫩的，作为公理代数、概率统计的准备的“离散数学”的初等教本直到富有雄心的O. Knuth所写的七卷文集《论计算机程序的艺术》，它们所强调的是同样的内容：排列、组合、分划、生成函数、树、分类、搜索和差分方程、黑箱等等。以至我们偶尔读读书就能找到这样的例证很清楚，200年来微积分和分析的统治已经结束。在我们的学院中，通过代数教学，在离散数学和符号操作科学（恰恰不是艺术！）的最广泛的意义方面将继续受到训练。

在某种意义下，这个方向继承了Van der Waerden开创的革命，但是有着很大的变化，它不再去做由Euclid原本所楷模化的、似乎是基础的公理和演绎系统。它既不作群，也不去作环、子群、子环、模射，它们的地位由各种关系结构（包括编序和在组合拓扑意又下的“复数”）所取定，这种结构远为不顺应在1930—1960年处于“近世代数”中心地位的一般代数技巧。

与数字计算机和组合学最为有关的几类代数结构（和“关系”结构相对照）是圈、独异点和格（或群芽、半群和半格），它们在1930—1960年是为大多数代数学家所忽略的。粗略地讲，群是关联于对称的，而圈是关联于设计的（或者模式的），独异点相当于作用（即对于一个自动机状态的输入指示），格相应于结构。

特别地，轮换和它的结合已表明，格论已提供了一般地向组合数学进军的方便之处，而恰好不是我已经叙述过的1933年的那些代数。此外N. S. Mendelsohn十分现代地把遍代数概念应用到生成组合设计中去，反之亦然。

人们自然地会惊叹，所有这些新的方向将引向何处，我自己确实只有一种想法：它们将不会指向如同Van der Waerden已作过的那种详细论述的古典“近世代数学”，更不会作出实的、复的代数或过去了的分析。正如Knuth所强调的，算法这个词对计算数学是如此的中心，而它恰恰是对“代数”一词的引进者Al-Khwarizmi的命名的一种误传。

确实，我已描述过的代数学中的四种潮流，由于研究数字计算机将被激励起来，很像当年微积分和分析是由思考有关几何、力学和数学物理而被激励起一样。它们简单地打开了，为新的一代研究的数学的新领域。随着相互联系和应用的增加和丰富，其中老的和新的思想将会相互渗透，相辅相成。近几十年内新概念和新方向将会从这些渗透和改善中生成。确实这种不断地进化，仅仅表明它能多年不断地使代数学保持成为一个新鲜的、使人兴奋的主题。

（American Mathematical Monthly 1973年80卷第760页）