（美国爱灵敦理念书院）
引 言
在中国及世界古代数学史中，《洛书》是中华民族在人类文化史中最早的数学创作。关于《洛书》的起源及其在中外数学领域中的传播和发展，读者可参阅英人李约瑟的《中国科学技术史》［1］，及国人黎凯旋的《易数浅说》[2]。中国先民创造《洛书》已有五千年历史，但直到现在，《洛书》在世界人民心目中仍蒙有一层奥秘色彩，中外数学家仍名之谓“幻方”；很少学者用现代数学观点，去研究并解释《洛书》的数学内涵。因此，“洛书的本质是什么？”换句话说，“洛书在现代数学内的地位是什么？”就成为一个有重大意义而需要解决的数学问题。
作者为解答这个问题，乃于1980年在美国设立爱灵敦理念书院，拟定几个有关《洛书》的基本命题，从事研究《洛书》的数学内涵，以求判定《洛书》的本质和功能。六年以来，作者根据研究成果，创立“洛书矩阵”学说，并于1986年四月，向上海及北京数学会讲演这一学说[3，4]，并提出两点建议：（一）宣布《洛书》为人类文化史中第一个矩阵，（二）以《洛书》作为中华民族原始文化的标帜。
本文是第一次向中国科学界介绍焦氏“洛书矩阵”学说，敬请指教和批评。
简介《洛书》及其问题
中华民族原始文化发源于黄河邻近洛水地区，史称“河洛文化”。河洛文化的基本内涵是自然数，它的具体表征就是《河图》和《洛书》（图一）。《河图》是由一到十的十个自然数的环形排列图，代表中国先民对数的性质和运算的初步认识，它示出加法和减法的运算，奇数和偶数的区别，及数量的十进位扩展，这代表当时文化的成就。到了《洛书》时代，中国先民对数的结构和变化达到更高的认识和成就。《洛书》只用九个自然数排列成一个正方形，构成每行、每列及两对角线上三个数的和都是十五。《洛书》是《河图》的精简和升华，由《河图》到《洛书》标志着中国古代数学文化的飞跃和成熟。
《洛书》的奇妙结构和演算变化建立了它独特的数学形象和模式，并为中外数学家开创了位置解析、数字几何及组合分析的先河。中国古代数学家将《洛书》发展为九宫算及纵横图，西方古代数学家发展《洛书》为幻方（图二）。千余年来，以《洛书》三阶幻方为基础，幻方的发展越来阶数越高，幻方的结构亦越来越幻。现代数学文献内，仍在研究幻方形成的理论和方法[5，6] 。
《洛书》存在的基本问题是如何与现代数学挂钩。中外传统数学家虽然一致接受《洛书》的数学模式，但却从未奠定《洛书》的数学运算法则和应用。到了现代，中外数学家更一致承认《洛书》为幻方，默认它的存在缺少数学的推理基础。如果我们不能用现代数学理论解释《洛书》的数学内涵，并建立它在现代数学领域中的地位，则《洛书》将永被视作大众或游戏数学，拘束在幻方的框框内，步入中国古代传统数学的命运，成为数学史中的陈迹，不能与现代数学共生存而进步了。
有关《洛书》基本命题
《洛书》定义之研究
研究《洛书》的首要工作为给《洛书》下一个数学定义。从汉代开始，中国学者径称《洛书》九数为“二九四、七五三、六一八”，并解释《洛书》九宫谓：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，载九履一，五居中央”（图二）。《洛书》传入西方后，被名为魔方阵或幻方，并定义幻方谓：应用1至n2个自然数，排成一个n×n的正方形，使得每行的和，每列的和，及两对角的和都相等（图二）。显然地，这些传统描绘都未能建立《洛书》的现代数学定义、运算法则反应用功能。作者根据数学推理，主张将《洛书》幻方的框框除掉，建立“《洛书》矩阵”的数学定义，则洛书的一切性质和运算法则均可统属到矩阵代数的领域内。
《洛书》分类之研究
《洛书》的基本特质有三：（一）它是以由一到九的九个自然数作构成元的；（二）它是由三行、三列及两对角线的八个三元数所组成的方阵；（三）它的构成特质或幻性是每个三元数的三元和都为十五。显然地，《洛书》的特质是由于其构成元的特殊排列及组合所致。根据排列组合原理，将九个不同数排列到九个不同位置，所能生成的不同形式可高达9！=9×8×…×2×1=362，880个，如何由如此巨大的可能组合中定出《洛书》幻方，自为一值得探讨的问题。解决此问题的关键自在《洛书》分类的研究。作者将《洛书》的可能排列作为一个集，再按照对称操作所形成的群，定出依照幻性高低《洛书》可区分为四类：（一）《洛书》本体：即《洛书》的原创形式，幻性最高，共有8式。（二）《洛书》变体：系由《洛书》本体移置而成，将本体内的中心五分别置换为一到九的其他八个数，则得出两对角线不一定具有幻性的变体《洛书》，共有64式。（三）自然《洛书》：系由九个自然数按照自然顺序排列组成，为《洛书》的基本形式，共有72式。（四）杂体《洛书》：此为不规则排列及幻性最低的《洛书》。
《洛书》形成之研究
中国先民如何创造《洛书》，因无历史记载，自属一奥秘问题。作者本诸数学问题必可用数学方法解决的原则，探讨《洛书》的形成乃数学操作的必然结果。自然界事物的产生是由概率决定的，作者设想《洛书》的形成是由九个基本自然数的排列和组合的概率所致。作者创造了《洛书》形成的概率表和概率曲线图，示出《洛书》本体的形成乃是最大概率的结果。
《洛书》目的之研究
《洛书》作为一个数学实体或模型，必有其物理意义反应用。作者定义洛书为矩阵，它就成为建立线性系统的一个基础，但这超出本文所能讨论的范围。作者现只提出一个基本问题：中国先民创作《洛书》的原始目的是什么？换句话说：《洛书》的几何意义是什么？作者的回答是：《洛书》就是应用由一到九的自然数，作为对宇宙空间几何结构由0到360度的数学解释。当将《洛书》作为三阶矩阵时，其中三个三元数就表三个三维向量，《洛书》就张成一个向量空间，而《洛书》的行列式值就是所成几何形体的体积。作者根据这些矩阵的基本定理，奠定了《洛书》矩阵学说的基本意义：三维向量空间由0到360度的几何结构变化，就是《洛书》由自然洛书到《洛书》本体的结构变化。这就是《洛书》的内涵，这就是《洛书》的奥秘。《洛书》对人类文化的最大贡献，_就是它只用九个基本自然数的代数运算方法，示出空间几何结构由0到360度的变化。直到今日，现代数学尚未能达到此一成就！
《洛书》转变机构流程之研究
作者将《洛书》的各种可能排列作为一个数学中的集，再根据群论中的对称操作，定出应用《洛书》的不同形式转变，示出空间几何结构由0到360度的转变机构流程。吾人由这种转变机构流程，可以领会出《洛书》内涵中的数学、科学与哲学意义。
焦氏“洛书矩阵”学说
焦氏“洛书定义”：《洛书》的广意定义是：“洛书是用由一到九的自然数作元所构成的三阶矩阵”。只需将《洛书》的幻方式与现代数学的矩阵式等同挂钩，就可奠定《洛书》为人类文化史中第一个矩阵。
焦氏“洛书分类”：按照《洛书》内构成元的排列组合特质，《洛书》可区分为四类：
1. 《洛书》本体：《洛书》中每行、每列及两对角线的三元和都必须相等。按照矩阵及其转置式的垂直和水平对称，《洛书》本体共有8式（图四）。
2. 《洛书》变体：《洛书》中每行及每列的三元和都必须相等。《洛书》变体系由《洛书》本体的中心五分别移置为其他八数而得，共有64式（图五）。
3. 自然《洛书》：系由九个自然数按照自然顺序排列组成，为《洛书》的基本形式，共有72式。
4. 杂体洛书：此为下余不规则排列及幻性最低的洛书。
为7+8+9=24，平均值自为（6+24）-2=15，再者，每个三元数都有六个不同组合，例如123，132，213，231，312，321是根据这种排列组合原理，作者创立了《洛书》本体的形成概率表（第一表），示出《洛书》本体的生成，乃是最大概率的必然结果。读者用三元和为横轴，用组合数为纵轴，即可谱出《洛书》本体生成的概率曲线图。
焦氏“洛书目的”学说：为了解释《洛书》的目的或其物理与几何意义，作者建立了“洛书矩阵”学说。中国先民为何要创造《洛书》？作者的回答是：《洛书》就是应用由一到九的自然数的组合变化，作为对宇宙空间结构由0到360度的数学解释。根据矩阵代数的基本性质，可以归纳出《洛书》矩阵的三个基本定理：（一）《洛书》矩阵的行列式值等于矩阵中三个组成向量所构成的几何形体的体积。（二）自然《洛书》的行列式值为0。（三）《洛书》本体的行列式值为360。作者根据这三个定理，奠定了“洛书矩阵”学说得中心意义：三维向量空间由0到360度的几何结构变化，就是《洛书》矩阵由自然《洛书》到《洛书》本体的组合结构变化。这就是《洛书》的奥秘，这就是《洛书》的数学内涵。
焦氏“洛书转变机构流程”：应用群论中的对称操作原理，作者定出《洛书》矩阵组合转变的机构流程，示出其行列式值[D]由0到360的转变。对称转变方法多端，现只示出两个范例：
结 语
在现代数学中，《洛书》被中外数学家作为“幻方”来研究和处理，不只《洛书》的数学内涵被拘束于幻方的框框内，不得翻身；而《洛书》亦被视作大众或游戏数学，不能建立它应有地位。作者根据《洛书》的结构和数学推理，主张将“洛书幻方”的框框除掉，建立“洛书矩阵”学说，并奠定了《洛书》的数学定义、分类、形成、目的和转变五项基本研究成果。“洛书矩阵”学说的中心意义是：三维向量空间由0到360度的几何结构变化，就是“洛书矩阵”由自然《洛书》到《洛书》本体的组合结构变化。“洛书矩阵”学说的建立，使《洛书》成为自然界中线性系统的建立基础，发挥出联系原因与结果、作用与反应，及输入与输出的基本功能。
参考文献
[1]李约瑟：《中国科学技术史》，中文译本，第19章，卷3，p. 123 ~ 137。
[2]黎凯旋：《易数浅说》，台北成文出版公司，1982，第6版，p. 207 ~ 249。
[3]戴小桦：《六年攻洛书成果报中华》，上海科技报，1986年4月26日。
[4]惠文恺：《古人用“洛书”解释宇宙空间》，上海新民晚报，1986年4月24日。
[5]丛汲泉：《2m 阶幻方的生成》，数学的实践与认识，1984，1，p. 26 ~ 34。
[6]李忠祥：《用加框法生成幻方》，北京钢铁学院学报，1985增刊1，P. 45 ~ 53。