第三世界的中国、埃及、印度等国是世界文明的摇篮，其数学在古代有过光辉的成就。目前，世界人口的百分之八十左右生活在一百多个发展中国家，研究二十世纪特别是第二次世界大战以后四十年来第三世界国家数学发展的情况，从中找出可供借鉴的历史经验，无疑具有一定意义。

数学起源于埃及。十九世纪发现的公元前1800年的Rhind纸草书和莫斯科纸草书中，便记载有古代埃及的数学史料。他们在计算上达到了很高的水平，不仅使用了十进制和分子为1.的基本分数，能正确地求出三角形和梯形的面积，还设圆周率为(16/9)²=3.1605…，求出了圆的面积。古印度在逻辑演绎和论证几何学方面虽逊于古希腊，但他们更擅长于直觉和归纳。二十世纪初叶的印度杰出数学家拉玛努扬（S. Ramanujan），就曾受到这一传统的深刻影响。古代印度不仅在几何、三角，特别是代数学方面贡献很大，而且有的历史学家认为，无限大和无限小的概念在印度数学中早就有了。而阿拉伯人则在公元八世纪使印度数学和长于逻辑推理的希腊数学在巴格达首次接触并流传到欧洲，对欧洲数学的发展产生重大影响。

但是，长期的封建专制和殖民统治，使这些国家的数学水平长期停滞不前。当希尔伯特在1900年的国际数学家大会上发表标志着数学进入二十世纪的著名演说时，绝大多数殖民地、半殖民地国家的现代数学尚未诞生，其数学已落后于世界数百年。第二次世界大战以后，随着民族解放运动的高涨和大批新独立国家的出现，第三世界国家的数学迅速发展。其中有些国家，如印度、巴西（中国不在本文之列*），在追赶世界数学先进水平中成绩卓著，取得了世所公认的成果。但总的说来，第三世界的数学水平还比较伸，大部分国家尚未进入世界数学的主流圈。迄今为止的二十七位菲尔兹奖获得者，除丘成桐（1983年获奖）是美籍华裔数学家外，其余均为美国（九人）、日本（二人）和欧洲（十五人）人，无一属于第三世界。在《数学评论》（Mathe-matical Reviews）中列出全世界的数学杂志大约1500种，其中只有8%是第三世界国家出版的，而这部分中印度占了30%。某些黑非洲国家，甚至被认为没有一个数学家的水平是超过硕士学衔的。

为什么大部分发展中国家取得独立后数学水平仍然提高不快，赶不上世界数学发展的主流呢？概其原因包括下列一些方面。

1. 长期殖民统治的烙印难以在一夜之间消失。大多数第三世界国家在二次世界大战前后方才建立起现代式的大学，其教育体系仍然受到原殖民宗主国的影响，缺少合适的教材和教师。一位印度尼西亚数学教授曾感慨地讲起这样一段经历：他读大学一年级时数学是用荷兰语教的，二年级的数学是美国教师用英语讲授，三年级则又改成了印尼语。这种殖民统治的烙印严重阻碍了数学教育和研究水平的提高。

2. —些，发展中国家把注意力放在与国家的兴旺发达直接相关的紧迫问题上，认为数学研究机构应该去处理与经济发展直接有关的问题：这固然有其正确的一面，但与此同时，往往忽略了数学理论的研究和基础水平的提高。加上一些国家科学文化基础的薄弱和政治上的不稳定，给数学研究增加了一定的困难。

3. 第三世界的数学家大多是在国外（主要是美国）攻读学位的。他们中有相当一部分人在取得博士学位之后不再回来，留在国外继续从事研究。在回国的数学或哲学博士中，因政治或经济的原因许多人不得不放弃自己的专业或改变原来的研究方向；少数坚持下来的也无法形成学术中坚力量。缺乏足够的大学教师（如有些东南亚国家大学数学教师每周的课务多达20课时）和学术带头人，是难以迅速提高全民数学基础、追赶世界数学先进水平的症结所在。

4. 在某些发展中国家，几位当地的数学家在某些非主流的、第一流数学家不去竞争的领域中取得了国际水平的成果，这无疑是值得赞赏的。但这些数学家在当地可能因此而取得权威性的地位，运用其影响来推进自己专业的发展，导致当地的青年数学家不去接触需要宽厚的基础、比较难，于出成果的主流领域，因而不能赶上世界数学的主流。

虽然条件十分艰难，第三世界国家的数学家们没有失去信心和勇气。他们刻苦研究，顽强地追赶世界数学的主流，一步步地缩短和发达国家的数学差距。其中具有代表性的是印度和巴西。印度对现代数学的研究在发展中国家中起步较早、水平较高，有一批传统的尖子从事纯粹数学理论的研究。而巴西则在第二次世界大战以后迅速崛起，进入世界数学的主流。

二

虽然早在十九世纪五十年代，英国政府就在印度建立起现代模式的大学，但主要目的是培养初级行政和司法官员，在很长一段时间内，其数学教育和研究水平是很低的。印度进入现代数学时期以拉玛努扬的出现为标志。拉玛努扬（1887 ~ 1920）出身贫寒，从小表现出特殊的数学才能，他的成功归因于刻苦自学及印度数学在直觉和归纳方面的优良传统。1911年，他的第一篇论文《关于贝努里数的一些性质》在印度数学会杂志上发表。1913年，拉玛努扬给英国大数学家哈代（G. Hardy）写了一封信并附上他自己得出的120条式子，其内容多属于无穷级数、椭圆积分和无穷乘积，其中不少结果是比较先进的或当时的数学家正在试图解决的。这些结果，引起了哈代的惊奇和赞赏。应哈代的邀请，拉玛努扬于1914年来到英国，在哈代的指导下研究进展迅速。短短几年发表了二十一篇论文、十七篇注记，分别登载在英国、法国和德国的刊物上，使他在欧洲享有很高的声誉，并于1918年被选为英国皇家学会会员。1920年，年仅33岁的一代数学天才不幸因病早逝。五十多年后，拉玛努扬再次受到人们的注意。1974年德利涅（P. Deligne，1978年菲尔兹奖获得者，比利时数学家）证实了魏依（Weil）猜想，有些想法可溯源于拉玛努扬。W76年，人们发现了拉玛努扬的一本以前不为人所知的笔记本，其中记载的600多条公式迄今尚在整理中，但已肯定包含了许多有意义的结果。拉玛努扬的成果已为世界所公认，他的思想和成就，对二十世纪的印度数学有着深远的影响。

1947年印度获得独立以后，数学教育和研究的水平提高较快，其中起重要作用的是塔塔（Tata）基础研究学会和印度统计学会。塔塔基础研究学会（TIFR）于1945年成立于孟买，由巴伯（H. Bhabha）教授任会长。这是由塔塔基金会支持的民间学会，当时的主要目的是研究理论物理学，特别是宇宙射线。印度统计学会（ISI）是马哈拉努比斯（P. Mabalanobis）教授为推进概率论的研究于1931年在加尔各答创建的。这两个学会中不但有一些印度知名的数学家，还吸收了一批优秀的青年研究人员，其中不少人从五十年代开始崭露头角，成为印度数学研究的中坚力量。印度独立以后，在印度政府的支持下，这两个学会把带领印度进入世界数学的主流作为目标，对印度的数学教育进行了改革，制定了大学和研究生的培养大纲。获得硕士学位的有才智的学生受到进一步的训练，以便能够独立从事研究工作。取得优异成果的青年被鼓励到国外的主要数学中心如巴黎、剑桥、普林斯顿继续深造和研究，他们回国以后发挥了出色的作用。另一方面，许多第一流的外国数学家被邀请到印度作短期学术访问（3 ~ 4个月或更长时间），他们中有施瓦兹（L. Schwartz）、西格尔（C. Siegel）、维纳（N. Wiener）、柯莫果尔洛夫（A. Kolmogorov）、哈尔丹（J. Haldane）等人。这些国际大师的访问把现代数学的主流思想及最新的方法、成果带到印度，大大推进了印度数学研究的进展。

经过五十年代和六十年短短二十年的努力，印度在追赶世界数学先进水平方面取得了世人瞩目的成果。一批新星，如瓦拉德拉扬（V. Varadarajan）、钱德拉（H. Chandra）、劳（C. Rao）、钱德拉赛克哈兰（K. Chandrasekharan）等在印度升起。钱德拉是这一代印度数学家中的杰出代表，他于1923年出生在印度的坎普，毕业于本国的阿拉哈巴德大学。他最初的兴趣在理论物理方面。1943年，他来到班加罗内的印度科学院与巴伯一起工作。两年后他被送到剑桥在迪拉克（P. Dirac）的指导下学习，并于1947年获得哲学博士学位。在剑桥，钱德拉的兴趣从理论物理转向数学，开始研究半单李群的表示和李代数。1947年他来到美国，1963年成为普林斯顿高等研究所的终身研究员。

—直工作到他去世。钱德拉几乎所有的工作都和半单李群的表示联系着，取得了极为出色的成果，对分析、代数、微分方程、拓扑、数论等许多领域产生了深远的影响。W83年他在普林靳顿逝世，被认为“数学世界失去了她的最杰出的人物之一”。

进入七十年代，印度在代数几何、群论、数论、概率论和数学物理等领域取得了国际公认的研究成果，跨入世界数学的主流。

三

巴西数学近四十年来突飞猛进的发展，特别是泛函分析的研究跨入世界先进行列，清楚地表明了第一流国际数学大师的访问和指导，对推动第三世界国家的数学发展所起的巨大作用。

第二次世界大战以前，巴西的数学在国际上默默无闻，世界知名数学家的名单上没有巴西人的名字。1945年和1946年，法国布尔巴基学派的创始人魏依（A. Weil）和狄多涅（J. Dieudonné）相继对巴西进行了为期三年和两年的访问。他们不仅为巴西数学界带去了最新的国际信息和研究成果，还把布尔巴基学派的思想和训练方式带到巴西，对巴西数学的起飞产生了深远的影响。在魏依和狄多涅的指导下，以纳赫宾（L. Nachbin）为代表的一批青年数学家脱颖而出，率先在泛函分析领域跨进世界先进行列。

1947年，斯通（M. Stone）对巴西进行了三个月的短期访问，举办了连续函数环的讲座。当时，斯通刚刚完成他的著名论文《推广的维尔斯特拉斯逼近定理》。

在他的影响下，纳赫宾对伯恩斯坦逼近问题产生浓厚的兴趣，并用全新的观点进行了深入研究。纳赫宾用连续函数加法群而不是代数方法，用一般力函数和重力拓扑而不是特征函数和紧 - 开拓扑，使伯恩斯坦问题的研究取得新的突破，从1961年起发表了一系列国际水平的论文和专著，并获得在1962年的斯德哥尔摩国际数学家大会上发表演讲的殊荣。在纳赫宾的领导下，巴西有一个活跃的研究所专门从事逼近论的研究，在美国、荷兰等国发表了一系列颇具影响的论文和专著，并于1977年在巴西召开了逼近论国际讨论会。

应斯通的邀请，纳赫宾从1948年到1952年访问了美国芝加哥大学。此时，著名数学家施瓦兹刚刚创立了泛函分析的一个重要分支——广义函数论。魏依建议他研究广义函数论并提供了施瓦兹的著名论文。此后，施瓦兹本人也于1952年对巴西进行了三个月的学术访问。在施瓦兹的推动下，一批巴西数学家在广义函数论这一新兴领域中奋力开拓，成立了专门的研究所。他们首先把分布理论从有限维发展到无限维，继而进入无限维正则理论的研究，取得了一系列重要的成果，陆续在美国、西德、西班牙发表。1971年，纳赫宾在美国数学会冬季年会上作了《无琅维正则理论的近期发展》的专题报告。1975年和1977牟，在巴西相继召开了无限维正则理论的国际讨论会和研究会。这些都标志着巴西对泛函分析的研究已达到国际先进水平。

四

随着科学技术的进步和经济的发展，数学的重要性已为愈来愈多的发展中国家所认识，他们为提高本国的数学水平而不懈努力。询如埃及在努力提高纯粹数学水平的同时/加强了应用数学的研究，东南亚的菲律宾、马来西亚、新加坡、泰国、印度尼西亚和香港等国家和地区，于1972年在新加坡成立了东南亚数学学会（The Southeast Asian Mathematical Society），出版了学会刊物，通过区域性合作加强力量，交流信息，推动东南亚各国的数学研究。仅从1972年 ~ 1979年，就在东南亚地区举行了二十余次国际性或区域性的数学会议。

1979年，在苏丹首都的喀士穆大学召开了第三世界国家发展数学国际会议（International Conference on Developing Mathematics in Third World Countries），来自数十个发展中国家的数学家们以及一些关心第三世界数学发展的国际知名数学大师聚会在一起。

交流提高数学教育和研究水平的经验，探讨第三世界国家发展数学的措施。会后出版了M. E. Tom主编的大会报告和论文专辑《第三世界国家发展数学》。这次会议引起了国际数学界的广泛重视，对推动第三世界国家的数学研究和发展产生了深远的影响。

在一些发展中国家，一批才气横溢的青年数学家已经崭露头角，正向世界数学的主流奋力挺进。我们有理由相信，一批发展中国家跻身于世界数学大国的行列，已经指日可待。

* 关于中国的情况，见张奠宙《二十世纪的中国数学与世界数学的主流》，（自然科学史研究）第5卷第3期（1986年），p.266~p.273。