一个简单的物理系统可以被定义为一个满足简单定律的系统，但是支配规则的简单性并不一定意味着所得结果的平庸性。恰恰相反，基本定律对许多粒子的作用在一段很长的时间间隔内常常会形成有趣的结构和过程（我们本身可能就是这个原理产生的结果）。因此，在自然界中观察到的所有的千姿百态的结构不是物理定律复杂性造成的后果，而是来自相当简单的定律被许多次反复的应用。

在最近几年中，物理学家已经对这类衍生出来的复杂性的许多例子进行了研究。在1986年1月的《今日物理》专栏中，我在自然界分形描述的意义上讨论了有限扩散凝聚模型的例子。自从那篇专栏文章发表后，人们研究了许许多多物理上分形的例子，并且致力于去发现所产生的结构的物理基础。由贝克（P. Bak），汤超和威斯恩费尔德（K. Weisenfeld）以及其他人所研究过的一种情形涉及到砂堆模型，它是通过把砂粒一颗一颗地堆积而成的。沙粒被整齐地堆放成行列，每一粒都处于一个规则点阵的格点上。只要局部的倾斜度（相邻两层之间的高度差）足够小，砂堆仍排列在格点上，但一旦当局部倾斜度足够大时，就会开始出现局部的坍滑。这个坍滑可能引起更多砂粒的下滑，从而又触发下滑砂粒下层砂粒的进一步下滑。砂粒的迁移也可能影响其上层砂粒而发生变动。增加一个砂粒将会触发连锁反应，砂堆在这个反应中坍滑下去以对砂堆太大的局部倾斜度作出响应。这种崩坍事件可能并不显著，也可能在经历多次变动后遍及整个系统。

贝克、汤超和威斯恩费尔德把由这种方式达到的情景称为“自组织的临界性”。这里“临界性”是一个技术性名词，它意味着在所有尺度上都会发生这种情景。在这种情况下不难理解砂堆本身是如何组织起来的。如果砂堆的倾斜度起初很小，仅仅只有几处小的下滑发生，砂堆依然显得陡峭。如果初始的倾斜度很大，大块的崩坍将冲刷砂堆的边缘，倾斜度因此变得平坦起来。系统探求着一个倾斜度；按照戈德洛克斯（Goldieocks）的说法，这是完全正确的。在这个倾斜度上，砂堆正处在对抗下滑形成的稳定性的边缘上。在堆积时存在某种随机性；而正因为系统恰好处于稳定性边缘上，随机性被动力学过程所放大以致在所有尺度上都发生崩坍。“自组织临界性”这个词也可以被扩展为蕴含着一种反馈机制的操作，这种反馈机制确保一种稳定的状态；在这种状态下，系统对一个扰动是临界稳定的。我们很想知道支配状态的定律。

值得注意的是，这个几乎平凡的模型包含着三个不同的组织层次，可以采用不同的定律：一个是单独的砂粒层次，一个是“崩坍”层次，还有便是许多下滑的复合效应层次。如果只研究单个的砂粒，大块的崩坍就是一种包含许多砂粒迁移的很复杂的复合情景。但是，如果不考虑单个砂粒，而将崩坍作为一个整体进行考察或者观察许多次接连崩坍的后果，就会发现一些容易理解的行为。在每个层次上，新的自然界的定律出现了。在稳定状态上，这个倾斜度达到一个临界值；一旦偏离平衡，它满足一个简单的扩散方程。自组织临界性使得这个方程中的扩散系数在倾斜度趋近它的临界值时呈现发散行为。（所观察到的系数以倾斜度减去临界倾斜度的负幂次方式变化）。

作为另一个例子，考虑液体从底部被加热时所产生的湍流。下部比较热的液体比上部较冷的液体稀薄一些，因而前者趋向于向上浮起，而后者则下沉。加热使液体呈现运动状态。而且如果由此产生的流速足够高，运动就会在空间和时间上显示出相当大的不规则性。这个过程称为对流湍流。然而“湍流”并不意味着随机。液体的复杂运动包含着特征性的图像、过程和结构；它们通过整体而显示出随机性。这个例子完全不同于砂堆下滑模型，它是一个真实的物理系统。基本的问题是，当我们把砂堆模型应用于正在了解中的湍流时，能不能从这样的砂堆模型中认识到任何新的内容？由于我们还没有在任何很深的层次上认识湍流，故还不能确信，什么样的认识可以在实际上得到应用，但是可能存在着从这些非线性动力学问题中的一个向另一个的转移。基于上面的讨论，我们可以借助于反馈机制和特征性的结构、过程的产生期待着自组织的实现。

在考虑潜在的机制以前，让我们观察一下明显的结构，从底部受到加热的系统因产生热的卷流而传导了大量的热量，这些“蘑菇状”的液流各自从贮液容器廉部的固定的热源中产生出来。加热的液体在“蘑菇”的茎部上升，当它到达“蘑菇”的顶帽时，向外扩展以充满一个较大的区域。

卷流激发起边界层，边界层出现不稳定，再产生更多的卷流。卷流的数目和边界层的厚度是由反馈过程进行调节的，如果边界层太厚，它将成为高度不稳定的，而大量卷流冲决加热层的许多部位将显露出来。边界层由此而渐渐变薄。反之，如果边界层太薄，几乎没有卷流升起，从而热传导将使边界层渐渐变厚B这个论述表明，边界层的厚度应该与穿过整个容器的卷流的运动有关。而且，边界层厚度还会与容器的高度有关。这个关系已由实验加以证实，并支持了反馈的想法。

这个湍流液体也在不同层次上满足不同的定律。在最低的层次上，我们有一些描述液体流动的偏微分方程。在稍高层次上，在系统的某个给定点上温度上升和下降会形成一个丰富多彩的复杂的时间过程。这个混沌的历史是许多不同卷流运动的错综复杂图像的结果。然而，一个几乎孤立的卷流满足很简单的定律。最后，就整个系统而论，还存在另一种形成的简单定律：在湍流区域，通过系统传导的热量呈现出对温度差的一种简单的幂次关系。

以上的论述给我们什么启示呢？我得到了在不同描述层次上的许多不同的定律。我看到了错综复杂的行为，它们既出自于也可归结为在较低和较高描述层次上的简单行为。

[Physics Today，1991年3月]